HUBUNGAN ENERGI RELATIVISTIK DENGAN MOMENTUM LINEAR RELATIVISTIK

Postingan ini bertujuan untuk menurunkan persamaan hubungan antara Energi Relativistik dengan Momentum linear Relativistik. Istilah relativistik dalam postingan ini mengacu pada benda/ partikel yang bergerak dengan kecepatan/ kelajuan mendekati kelajuan cahaya \(c\).

Secara ringkas hubungan antara energi total benda saat bergerak \(E\), energi diam \(E_0\) dan momentum linear relativistik \(p\) dapat dinyatakan dengan persamaan

\( E^2 = E_0^2 + (pc)^2 \) .... (0)

Bagaimanakah mendapatkan persamaan tersebut? Baik, mari kita pelajari.
Berdasarkan teori relativitas Einstein, energi diam suatu partikel dapat dinyatakan dengan persamaan :

\( E_0 = m_0.c^2 \)     .... (1)

Dengan m adalah massa diam dan \(c\) adalah kelajuan cahaya. Sedangkan energi totalnya saat bergerak relativistik dengan kelajuan mendekati kecepatan cahaya, dapat dinyatakan dengan persamaan:

\( E = m.c^2 \)    .... (2)

Dengan \(\gamma \) adalah tetapan transformasi yang memiliki persamaan :

\(\gamma = \sqrt{\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}}\)    .... (3)

Momentum linear relativistik persamaannya adalah:

\(p = \gamma.m_0.v\)    .... (4)

Mari kita mulai:
Tentukan rumus \(v^2\) dari persamaan (3), berikut langkahnya:

Kuadratkan persamaan (4), sehingga:

\(p^2 = \gamma^2.m_0^2.v^2\)    .... (6)

Subtitusikan persamaan (5) ke persamaan (6) lalu sederhanakan, sehingga :

\(p^2 = \gamma^2.m_0^2.{(\frac{\gamma^2c^2 - c^2}{\gamma^2})}\).

\( p^2 = \gamma^2.m_0^2.c^2 - m_0^2c^2\)    .... (7)

Kalikan persamaan (7) dengan \(c^2\), sehingga menjadi:

\(p^2c^2 = \gamma^2.m_0^2c^4 - m_0^2c^4\)    .... (8)

Dengan meninjau kembali persamaan (1) dan (2), maka persamaan (8) dapat dirubah menjadi:

\( (pc)^2 = E^2 - E_0^2 \)         .... (9)

Persamaan (9) adalah bentuk lain dari persamaan (0) yaitu:

\( E^2 = E_0^2 + (pc)^2 \)

Contoh soal:

Sebuah partikel bermassa diam \(m\) memiliki energi diam sebesar \(m.c^2 \). Sedangkan energi totalnya ketika bergerak adalah \(\frac{5}{4} mc^2 \). Berapakah besar momentum linear partikel tersebut ?

Diketahui: \(E_0=m_0.c^2 \) ,    \(E_0=m.c^2 \),    \(E=\frac{5}{4}m.c^2 \)
Ditanya: \(p \) = …..?

Jawab: Gunakan persamaan \(E^2=E_0^2+(pc)^2\)

\((pc)^2=E^2-E_0^2\)    \(\Rightarrow \)       \(p=\frac{\sqrt{E^2-E_0^2}}{c}\)

\(p=\frac{\sqrt{(\frac{5}{4} m.c^2)^2-(m.c^2 )^2)}}{c}\)  \(= \frac{\sqrt{\frac{25}{16}m^2.c^4-m^2.c^4}}{c}\)

   

\(p=\frac{\sqrt{\frac{25}{16} m^2.c^4- \frac{16}{16}m^2.c^4}}{c} \)  \(= \frac{\sqrt{\frac{9}{16}m^2.c^4}}{c}\)   \( = \)  \( \frac{\frac{3}{4}m.c^2}{c}\)

jadi,  

\(\color{Red} {p=\frac{3}{4} m.c} \)

Selesai. Semoga bermanfaat.