HUBUNGAN ENERGI RELATIVISTIK DENGAN MOMENTUM LINEAR RELATIVISTIK

Postingan ini bertujuan untuk menurunkan persamaan hubungan antara Energi Relativistik dengan Momentum linear Relativistik. Istilah relativistik dalam postingan ini mengacu pada benda/ partikel yang bergerak dengan kecepatan/ kelajuan mendekati kelajuan cahaya $c$.

Secara ringkas hubungan antara energi total benda saat bergerak $E$, energi diam $E_0$ dan momentum linear relativistik $p$ dapat dinyatakan dengan persamaan

$E^2=E_0^2+(pc{)}^2$ .... (0)

Bagaimanakah mendapatkan persamaan tersebut? Baik, mari kita pelajari.
Berdasarkan teori relativitas Einstein, energi diam suatu partikel dapat dinyatakan dengan persamaan :

$E_0=m_0.c^2$     .... (1)

Dengan m adalah massa diam dan $c$ adalah kelajuan cahaya. Sedangkan energi totalnya saat bergerak relativistik dengan kelajuan mendekati kecepatan cahaya, dapat dinyatakan dengan persamaan:

$E=m.c^2$    .... (2)

Dengan $\gamma$ adalah tetapan transformasi yang memiliki persamaan :

$\gamma =\sqrt{\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}}$    .... (3)

Momentum linear relativistik persamaannya adalah:

$p=\gamma .m_0.v$    .... (4)

Mari kita mulai:
Tentukan rumus $v^2$ dari persamaan (3), berikut langkahnya:

Kuadratkan persamaan (4), sehingga:

$p^2={\gamma }^2.m_0^2.v^2$    .... (6)

Subtitusikan persamaan (5) ke persamaan (6) lalu sederhanakan, sehingga :

$p^2={\gamma }^2.m_0^2.(\frac{{\gamma }^2{c}^2-c^2}{{\gamma }^2})$.

$p^2={\gamma }^2.m_0^2.c^2-m_0^2{c}^2$    .... (7)

Kalikan persamaan (7) dengan $c^2$, sehingga menjadi:

$p^2{c}^2={\gamma }^2.m_0^2{c}^4-m_0^2{c}^4$    .... (8)

Dengan meninjau kembali persamaan (1) dan (2), maka persamaan (8) dapat dirubah menjadi:

$(pc{)}^2=E^2-E_0^2$         .... (9)

Persamaan (9) adalah bentuk lain dari persamaan (0) yaitu:

$E^2=E_0^2+(pc{)}^2$

Contoh soal:

Sebuah partikel bermassa diam $m$ memiliki energi diam sebesar $m.c^2$. Sedangkan energi totalnya ketika bergerak adalah $\frac{5}{4}m{c}^2$. Berapakah besar momentum linear partikel tersebut ?

Diketahui: $E_0=m_0.c^2$ ,    $E_0=m.c^2$,    $E=\frac{5}{4}m.c^2$
Ditanya: $p$ = …..?

Jawab: Gunakan persamaan $E^2=E_0^2+(pc{)}^2$

$(pc{)}^2=E^2-E_0^2$    $\Rightarrow$       $p=\frac{\sqrt{E^2-E_0^2}}{c}$

$p=\frac{\sqrt{(\frac{5}{4}m.c^2{)}^2-(m.c^2{)}^2)}}{c}$  $=\frac{\sqrt{\frac{25}{16}{m}^2.c^4-m^2.c^4}}{c}$

   

$p=\frac{\sqrt{\frac{25}{16}{m}^2.c^4-\frac{16}{16}{m}^2.c^4}}{c}$  $=\frac{\sqrt{\frac{9}{16}{m}^2.c^4}}{c}$   $=$  $\frac{\frac{3}{4}m.c^2}{c}$

jadi,  

$p=\frac{3}{4}m.c$

Selesai. Semoga bermanfaat.