Contoh Soal Gelombang Stasioner/Berdiri Ujung Bebas

Sebuah gelombang pada tali merambat ke kanan dengan fungsi simpangan \(y = 0,6.sin(6\pi.x - 4\pi.t)\) dengan \(y\) dan \(x\) dalam meter. Di ujung kanan tali, gelombang tersebut dipantulkan ke kiri dan sefase dengan fungsi simpangan \(y = 0,6.sin(-6\pi.x - 4\pi.t)\), gelombang datang dan pantul tersebut saling bersuper posisi/berpadu menghasilkan gelombang stasioner. Tentukan:

a. Jenis gelombang stasioner yang dihasilkan

b. Penurunan persamaan simpangan gelombang stasioner yang dihasilkan

c. Amplitudo maksimum Gelombang stasioner tersebut

d. Amplitudo Gelombang stasioner tersebut pada titik yang berjarak \(1 \frac{1}{8}\) m dari ujung tetap. 

e. Simpangan suatu titik yang berjarak \(1 \frac{1}{8}\) m dari ujung tetap, pada waktu getar = 10,375 s. 

f. Panjang gelombang gelombang stasioner

g. Cepat rambat gelombang stasioner tersebut

h. letak simpul ke lima dari ujung tetap

i. letak perut ke tiga dari ujung tetap

j. Jarak antara simpul dan perut yang berdekatan.

Pembahasan:

a. Ditanyakan:  Jenis gelombang stasioner yang dihasilkan?

Jawab:

karena gelombang pantul yang terjadi sefase (bukit menjadi bukit/lembah menjadi lembah) terhadap gelombang datangnya, itu hanya terjadi jika ujung pantulnya adalah bebas. 

Lihat gambar gelombang datang dan gelombang pantul (yang sefase, ke kiri) dari soal ini.

Maka jenis gelombang stasioner yang dihasilkan, adalah gelombang stasioner ujung bebas.

b. Ditanyakan: \(y_s = .....?\)

Diketahui: 

fungsi gelombang datang \(y_d = 0,6.sin(6\pi.x - 4\pi.t)\), dan 

fungsi gelombang pantul, \(y_p = 0,6.sin(-6\pi.x - 4\pi.t)\Rightarrow  y_p = -0,6.sin(6\pi.x + 4\pi.t)\).

Jawab:

Misal: 

\(y_d =  A.sin(p)\), di mana \(A = 0,6\) m dan \(p = 6\pi.x - 4\pi.t\)
\(y_p = -A.sin(q)\), di mana \(q = 6\pi.x + 4\pi.t\)

\(y_s = y_d + y_p = A.sin(p) - A.sin(q) = A(sin(p) - sin(q))\)

Ingat kaidah matematika, berikut: 
\(sin(p)-sin(q) = 2.cos(\frac{p+q}{2}).sin(\frac{p-q}{2})\)

Sehingga:
\(A(sin(p) + sin(q)) =2A.cos(\frac{p+q}{2}).sin(\frac{p-q}{2})\)

Maka: 
\(y_s = 1,2.sin(\frac{(6\pi.x - 4\pi.t)+(6\pi.x + 4\pi.t)}{2}).cos(\frac{(6\pi.x - 4\pi.t)-(6\pi.x + 4\pi.t)}{2})\)

\(y_s = 1,2.cos(6\pi.x).sin(4\pi.t)\)

c. Ditanyakan: \(A_{smaks} = ...?\) (amplitudo gelombang stasioner maksimum)

Jawab: persamaan amplitudo gelombang stasioner ujung bebas adalah, \(A_s = 2A.cos(k.x)\)

sehingga pada soal ini, \(A_s = 1,2.cos(6\pi.x)\)

\(A_{smaks}\) terjadi saat nilai \(cos(6\pi.x)\) bernilai maksimum, yaitu = 1.

\(\Rightarrow A_{smaks} = 1,2\) m

d. Ditanyakan: \(A_{s} = ...?\) pada \(x = 1 \frac{1}{8}\) m

Jawab: 

\(A_s = |1,2.cos(6\pi.x)\)|

\(A_s = |1,2.cos(6\pi\times 1 \frac{1}{8})\)|

\(A_s = |1,2.cos(6 \frac{6}{8}\pi)\)|     

\(\Rightarrow 6 \frac{6}{8}\pi = \frac{6}{8}\pi = 135^o\)

\(A_s = |1,2.cos(135^o)| = |1,2 \times -\frac{1}{2} \sqrt{2}\)|

\(A_s = |-0,6\sqrt{2}|\) m

\(A_s = |0,6\sqrt{2}|\) m

e. Ditanyakan: \(y_s = ...?\) di titik \(x = 1 \frac{1}{8}\) m dari ujung tetap, dan \(t = 10,375\) s.

Jawab:

\(y_s = 1,2.cos(6\pi.x).sin(4\pi.t)\)

\(y_s = 1,2.cos(6\pi \times 1 \frac{1}{8}).sin(4\pi \times 10,375)\)

\(y_s = 1,2.cos(6 \frac{6}{8}\pi).sin(41,5\pi )\)     

\(\Rightarrow  41,5\pi = 1,5\pi = 270^o\)

\(y_s = 1,2.cos(135^o).sin(270^o )\)

\(y_s = 1,2 \times -\frac{1}{2} \sqrt{2}\times -1\)

\(y_s = 0,6\sqrt{2}\) m

f. Ditanyakan: \(\lambda = ....?\) 

Jawab:

Persamaan simpangan gelombang stasioner ujung bebas adalah: 

\(y_s = 2A.cos(k.x).sin(\omega.t)\)

di mana, pada soal ini diketahui bahwa, \(2A = 1,2\) m, \(k = 6\pi\), dan \(\omega = 4\pi\)

Untuk menentukan \(\lambda\) dapat digunakan dari nilai \(k\), yaitu:

\(k = \frac{2\pi}{\lambda}\)

\(6\pi = \frac{2\pi}{\lambda}\) 

\(\lambda = \frac{2\pi}{6\pi}\) 

\(\lambda = \frac{1}{3}\) m

g. Ditanyakan: \(v = ....?\) 

Jawab:

Berikut ini adalah rumus \(v\), yaitu:

\(v = \frac{s}{t} = \frac{\lambda}{T} = \lambda.f = \frac{\omega}{k}\)

Untuk kasus soal ini, dapat digunakan rumus:

\(v =  \frac{\omega}{k}\)

\(v =  \frac{4\pi}{6\pi}\)

\(v = \frac{2}{3} \) m/s

  

h. Ditanyakan: \(x_{s5} = ...\) 

Perhatikan titik simpul (s) dan perut (p) beserta urutannya pada gelombang stasioner ujung bebas berikut ini!

Perlu diketahui, bentuk satu gelombang \(1 \lambda\) dari gelombang stasioner adalah:

dengan demikian, letak simpul ke-n, dari ujung tetap dapat dinyatakan dengan rumus:

\(x_{sn} = \frac{(2.n-1)}{4}\lambda\)

Sehingga, untuk \(n = 5\), maka:

\(x_{s5} = \frac{(2\times 5-1)}{4}\times \frac{1}{3}\) m

\(x_{s5} = \frac{9}{4}\times \frac{1}{3}\) m

\(x_{s5} = \frac{3}{4}\) m

i. Ditanyakan: \(x_{p3} = ....?\)

Jawab:

Dari gambar  soal h. dapat ditentukan rumus letak perut ke-n dari ujung tetap, yaitu:

\(x_{sn} = \frac{(n-1)}{2}\lambda\)

Sehingga, untuk \(n = 3\), maka:

\(x_{s5} = \frac{(3-1)}{2}\times \frac{1}{3}\) m

\(x_{s5} = 1\times \frac{1}{3}\) m

\(x_{s5} = \frac{1}{3}\) m

J. Ditanyakan : \(\Delta x_{s-p} = .....?\) (jarak simpul dan perut yang berdekatan)

Jawab:

Dari gambar  soal h. dapat diketahui bahwa:

\(\Delta x_{s-p} = \frac{1}{4}\lambda \)

\(\Delta x_{s-p} = \frac{1}{4}\times \frac{1}{3}\) m

\(\Delta x_{s-p} = \frac{1}{12}\) m

Contoh Soal Gelombang Stasioner/Berdiri Ujung Terikat

Sebuah gelombang pada tali merambat ke kanan dengan fungsi simpangan \(y = 0,4.sin(4\pi.x - 8\pi.t)\) dengan \(y\) dan \(x\) dalam meter. Di ujung kanan tali, gelombang tersebut dipantulkan ke kiri dan berlawanan fase dengan fungsi simpangan \(y = - 0,4.sin(-4\pi.x - 8\pi.t)\), gelombang datang dan pantul tersebut saling bersuper posisi/berpadu menghasilkan gelombang stasioner. Tentukan:

a. Jenis gelombang stasioner yang dihasilkan

b. Penurunan persamaan simpangan gelombang stasioner yang dihasilkan

c. Amplitudo maksimum Gelombang stasioner tersebut

d. Amplitudo Gelombang stasioner tersebut pada titik yang berjarak 1,0625 m dari ujung tetap. 

e. Simpangan suatu titik yang berjarak 1,0625 m dari ujung tetap, pada waktu getar = 10 s. 

f. Panjang gelombang gelombang stasioner

g. Cepat rambat gelombang stasioner tersebut

h. letak simpul ke tiga dari ujung tetap

i. letak perut ke lima dari ujung tetap

j. Jarak antara simpul dan perut yang berdekatan.

Pembahasan:

a. Ditanyakan:  Jenis gelombang stasioner yang dihasilkan?

Jawab:

karena gelombang pantul yang terjadi berlawanan fase (bukit menjadi lembah/lembah menjadi bukit) terhadap gelombang datangnya, itu hanya terjadi jika ujung pantulnya adalah tetap/terikat. 

Lihat gambar gelombang datang dan gelombang pantul (yang berlawanan fase, ke kiri) dari soal ini.

Maka jenis gelombang stasioner yang dihasilkan, adalah gelombang stasioner ujung tetap/terikat.

b. Ditanyakan: \(y_s = .....?\)

Diketahui: 

fungsi gelombang datang \(y_d = 0,4.sin(4\pi.x - 8\pi.t)\), dan 

fungsi gelombang pantul, \(y_p = - 0,4.sin(-4\pi.x - 8\pi.t)\Rightarrow  y_p = 0,4.sin(4\pi.x + 8\pi.t)\).

Jawab:

Misal: 

\(y_d =  A.sin(p)\), di mana \(A = 0,4\) m dan \(p = 4\pi.x - 8\pi.t\)
\(y_p =  A.sin(q)\), di mana \(q = 4\pi.x + 8\pi.t\)

\(y_s = y_d + y_p = A.sin(p) + A.sin(q) = A(sin(p) + sin(q))\)

Ingat kaidah matematika, berikut:
\(sin(p)+sin(q) = 2.sin(\frac{p+q}{2}).cos(\frac{p-q}{2})\)

Sehingga:
\(A(sin(p) + sin(q)) =2A.sin(\frac{p+q}{2}).cos(\frac{p-q}{2}) \)

Maka:
\(y_s = 0,8.sin(\frac{(4\pi.x - 8\pi.t)+(4\pi.x + 8\pi.t)}{2}).cos(\frac{(4\pi.x - 8\pi.t)-(4\pi.x + 8\pi.t)}{2})\)

\(y_s = 0,8.sin(4\pi.x).cos(8\pi.t)\)

c. Ditanyakan: \(A_{smaks} = ...?\) (amplitudo gelombang stasioner maksimum)

Jawab: persamaan amplitudo gelombang stasioner ujung tetap adalah, \(A_s = 2A.sin(k.x)\)

sehingga pada soal ini, \(A_s = 0,8.sin(4\pi.x)\)

\(A_{smaks}\) terjadi saat nilai \(sin(4\pi.x)\) bernilai maksimum, yaitu = 1.

\(\Rightarrow A_{smaks} = 0,8\) m

d. Ditanyakan: \(A_{s} = ...?\) pada \(x = 1,0625 \) m

Jawab: 

\(A_s = 0,8.sin(4\pi.x)\)

\(A_s = 0,8.sin(4\pi\times 1,0625)\)

\(A_s = 0,8.sin(4,25\pi)\)     \(\Rightarrow 4,25\pi = 0,25\pi = 45^o\)

\(A_s = 0,8.sin(45^o) = 0,8 \times \frac{1}{2} \sqrt{2}\)

\(A_s = 0,4\sqrt{2}\) m

e. Ditanyakan: \(y_s = ...?\) di titik \(x = 1,0625\) m dari ujung tetap, dan \(t = 10\) s.

Jawab:

\(y_s = 0,8.sin(4\pi.x).cos(8\pi.t)\)

\(y_s = 0,8.sin(4\pi \times 1,0625).cos(8\pi \times 10)\)

\(y_s = 0,8.sin(4,25\pi).cos(80\pi )\)     ; \(\Rightarrow 4,25\pi = 0,25\pi = 45^o\) dan  \(80\pi = 0^o\)

\(y_s = 0,8.sin(45^o).cos(0^o )\)

\(y_s = 0,8 \times \frac{1}{2} \sqrt{2}\times 1\)

\(y_s = 0,4\sqrt{2}\) m

f. Ditanyakan: \(\lambda = ....?\) 

Jawab:

Persamaan simpangan gelombang stasioner ujung tetap/terikat adalah: 

\(y_s = 2A.sin(k.x).cos(\omega.t)\)

di mana, pada soal ini diketahui bahwa, \(2A = 0,8\) m, \(k = 4\pi\), dan \(\omega = 8\pi\)

Untuk menentukan \(\lambda\) dapat digunakan dari nilai \(k\), yaitu:

\(k = \frac{2\pi}{\lambda}\)

\(4\pi = \frac{2\pi}{\lambda}\) 

\(\lambda = \frac{2\pi}{4\pi}\) 

\(\lambda = \frac{1}{2}\) m

g. Ditanyakan: \(v = ....?\) 

Jawab:

Berikut ini adalah rumus \(v\), yaitu:

\(v = \frac{s}{t} = \frac{\lambda}{T} = \lambda.f = \frac{\omega}{k}\)

Untuk kasus soal ini, dapat digunakan rumus:

\(v =  \frac{\omega}{k}\)

\(v =  \frac{8\pi}{4\pi}\)

\(v = 2 \) m/s

  

h. Ditanyakan: \(x_{s-3} = ...\) 

Perhatikan titik simpul (s) dan perut (p) beserta urutannya pada gelombang stasioner ujung terikat berikut ini!

Perlu diketahui, bentuk satu gelombang \(1 \lambda\) dari gelombang stasioner adalah:

dengan demikian, letak simpul ke-n, dari ujung tetap dapat dinyatakan dengan rumus:

\(x_{sn} = \frac{(n-1)}{2}\lambda\)

Sehingga, untuk \(n = 3\), maka:

\(x_{s3} = \frac{(3-1)}{2}\frac{1}{2}\) m

\(x_{s3} = \frac{1}{2}\) m

i. Ditanyakan: \(x_{p5} = ....?\)

Jawab:

Dari gambar  soal h. dapat ditentukan rumus letak perut ke-n dari ujung tetap, yaitu:

\(x_{sn} = \frac{(2.n-1)}{4}\lambda\)

Sehingga, untuk \(n = 5\), maka:

\(x_{s5} = \frac{(2\times 5-1)}{4}\times \frac{1}{2}\) m

\(x_{s5} = \frac{9}{4}\times \frac{1}{2}\) m

\(x_{s5} = \frac{9}{8}\) m

J. Ditanyakan : \(\Delta x_{s-p} = .....?\) (jarak simpul dan perut yang berdekatan)

Jawab:

Dari gambar  soal h. dapat diketahui bahwa:

\(\Delta x_{s-p} = \frac{1}{4}\lambda \)

\(\Delta x_{s-p} = \frac{1}{4}\times \frac{1}{2}\) m

\(\Delta x_{s-p} = \frac{1}{8}\) m

Contoh Soal dan Pembahasan Gelombang Berjalan Part 6.

Deskripsi: Besaran-Besaran Dasar, Kecepatan Getar, dan Percepatan Getar, dari Persamaan Simpangan Gelombang Berjalan.

Contoh Soal.

Sebuah gelombang berjalan merambat dengan fungsi simpangan \(y = 0,8.sin(4\pi.t - 2\pi.x + \frac{\pi}{6}\)), dengan \(y\) dan \(x\) dalam meter. Berdasarkan fungsi tersebut tentukan:

a. Ampitudo Gelombang (\(A\))

b. Frekuensi gelombang (\(f\))

c. Panjang gelombang (\(\lambda\))

d. Persamaan kecepatan getar \(v_y\)

e. Kecepatan getar maksimum \(v_{ymaks}\) 

f. Persamaan Percepatan getar \(a_y\)

g. Percepatan getar maksimum \(a_{ymaks}\)

h. kecepatan getar di titik p yang berjarak 25 cm dari titik asal o, dan titik asal o telah bergetar selama 4,5 detik

i. Percepatan getar di titik p yang berjarak 25 cm dari titik asal o, dan titik asal o telah bergetar selama 4,5 detik

Pembahasan.

Persamaan umum gelombang berjalan adalah \(y = A.sin(\omega.t \pm k.x + \theta_0)\)

Di mana: \(A = \) Amplitudo,    \(\omega =\) kecepatan sudut (rad/s)    \(\Rightarrow \omega = 2\pi.f\) (\(f=\) frekuensi (Hz),   \(t =\) selang waktu getar titik asal gelombang (s),    \(k =\) bilangan gelombang     \(\Rightarrow k = \frac {2\pi}{\lambda}\) (\(\lambda =\) panjang gelombang,    \(x =\) Jarak titik ke titik asal.

Untuk arah getar lihat tanda \(\pm\) dikiri k, jika tandanya \(-\) maka arah rambat ke kanan, tandanya \(+\) maka arah rambat ke kiri. 

Maka dari persamaan: \(y = 0,8.sin(4\pi.t - 2\pi.x + \frac{\pi}{3})\), dapat ditentukan:

a. \(A =0,8 \) m

b. \(\omega =  4\pi\)     \(\Rightarrow  2\pi.f = 4\pi\)    \(\Rightarrow  f =\frac {4\pi}{2\pi}\)    \(\Rightarrow  f = 2\) Hz

\(\Rightarrow T = \frac{1}{f} = \frac{1}{2} = 0,5\) sekon

c. \(k = 2\pi\)    \(\Rightarrow  2\pi= \frac {2\pi}{\lambda} \)     \(\Rightarrow  \lambda = \frac {2\pi}{2\pi} \)      \(\Rightarrow  \lambda = 1\) m 

d. Ditanyakan \(v_y = ...?\)

Jawab: 

\(v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d(A.sin(\omega.t \pm k.x + \theta_0))}{dt}\)

\(v_y = A. \omega.cos(\omega.t \pm k.x + \theta_0)\)

\(v_y = 0,8 \times 4\pi.cos(4\pi.t - 2\pi.x + \frac{\pi}{6})\) m/s

\(v_y = 3,2\pi.cos(4\pi.t - 2\pi.x + \frac{\pi}{6}\)) m/s

e. Ditanyakan: \(v_{ymaks} = ...?\)

Jawab: 

\(v_{ymaks} \) terjadi saat nilai \(cos(\theta)\) atau \(sin(\theta)\) (tergantung trigonometri yang ada di fungsi \(v_y\)) maksimum yaitu = 1.

\(v_{y} = A. \omega.cos(\omega.t \pm k.x + \theta_0) = A. \omega.cos(\theta) \) 

\(\Rightarrow v_{ymaks} = A. \omega =  0,8 \times 4\pi \) 

\(\Rightarrow v_{ymaks} = 3,2\pi\) m/s

f. Ditanyakan \(a_y = ...?\)

Jawab: 

\(a_y = \frac{d(a_y)}{dt} = \frac{d(A. \omega.cos(\omega.t \pm k.x + \theta_0))}{dt}\)

\(a_y = - A. \omega^2.sin(\omega.t \pm k.x + \theta_0)\)

\(a_y = - 0,8 \times (4\pi)^2.sin(4\pi.t - 2\pi.x + \frac{\pi}{6})\)

\(a_y = - 0,8 \times 16\pi^2.sin(4\pi.t - 2\pi.x + \frac{\pi}{6})\) 

\(a_y = - 12,8\pi^2.sin(4\pi.t - 2\pi.x + \frac{\pi}{6})\) m.s\(^{-2}\)

Tanda (\(-\)) menyatakan bahwa arah \(a_y\) suatu titik, selalu berlawanan dengan arah posisi/simpangan getar \(y\) titik tersebut.

e. Ditanyakan: \(a_{ymaks} = ...?\)

Jawab: 

\(a_{ymaks} \) terjadi saat nilai \(cos(\theta)\) atau \(sin(\theta)\) (tergantung trigonometri yang ada di fungsi \(a_y\)) maksimum yaitu = 1.

\(a_y = - A. \omega^2.sin(\omega.t \pm k.x + \theta_0) = - A. \omega^2.sin(\theta)\)

\(\Rightarrow a_{ymaks} = - A. \omega^2 =  - 0,8 \times (4\pi)^2\) 

\(\Rightarrow a_{ymaks} = - 12,8\pi^2\) m.s\(^{-2}\)

f. Ditanyakan : \(v_y = ...?\) di \(x_p =  25\) cm \(= 0,25\) m,     \(t = 4,5\) detik

Jawab: 

\(v_y = 3,2\pi.cos(4\pi.t - 2\pi.x + \frac{\pi}{6})\) 

\(v_y = 3,2\pi.cos(4\pi.\times 4,5 - 2\pi. \times 0,25 + \frac{\pi}{6})\)

\(v_y = 3,2\pi.cos(18\pi - 5\pi + \frac{\pi}{6})\) 

\(v_y = 3,2\pi.cos(13 \frac{1}{6}\pi )\)

Ingat! \(\Rightarrow sin(13 \frac{1}{6}\pi )\) sama saja dengan \(sin(13 \frac{1}{6}\pi - 12\pi) = sin(1 \frac{1}{6}\pi) \)

 

\(v_y = 3,2\pi.cos(1 \frac{1}{6}\pi )\) 

\(v_y = 3,2\pi.cos(210^o )\) 

\(v_y = 3,2\pi.\times (-\frac {1}{2}\sqrt{3})\) 

\(v_y = - 1,6\pi \sqrt{3}\) m/s

Tanda \((-)\) menunjukkan bahwa titik p sedang bergetar ke arah \(y(-)\) atau ke bawah.

g. Ditanyakan : \(a_y = ...?\) di \(x_p =  25\) cm \(= 0,25\) m,     \(t = 4,5\) detik

Jawab: 

\(a_y = - 12,8\pi^2.sin(4\pi.t - 2\pi.x + \frac{\pi}{6})\) 

\(a_y = - 12,8\pi^2.sin(4\pi.\times 4,5 - 2\pi. \times 0,25 + \frac{\pi}{6})\)

\(a_y = - 12,8\pi^2.sin(18\pi - 5\pi + \frac{\pi}{6})\) 

\(a_y = - 12,8\pi^2.sin(13 \frac{1}{6}\pi )\)

\(a_y = - 12,8\pi^2.sin(1 \frac{1}{6}\pi )\) 

\(a_y = - 12,8\pi^2.sin(210^o )\)

\(a_y = - 12,8\pi^2. \times  (-\frac {1}{2})\)

\(a_y = 6,4\pi^2 \) m.s\(^{-2}\)

Contoh Soal dan Pembahasan Gelombang Berjalan Part 5.

 

Menentukan Besaran-Besaran Gelombang dan Persamaan Simpangan Gelombang dari Fungsi Grafik Simpangan Gelombang Terhadap Jarak

Contoh soal:

Suatu gelombang berjalan dari titik o ke q, sebagaimana diperlihatkan grafik fungsi simpangan terhadap jarak sebagai berikut ini:

Untuk merambat dari titik o ke titik q diperlukan waktu 0,5 detik dan diketahui saat awal pengamatan titik asal berada di posisi setimbang lalu bergerak ke arah y(+). Maka berdasarkan informasi yang diberikan, tentukan:

a. Amplitudo gelombang

b. Panjang gelombang

c. Frekuensi gelombang

d. Kecepatan sudut

e. Bilangan gelombang

f. Sudut fase awal

g. Persamaan umum simpangan

Pembahasan: 

a. Ditanyakan: \(A = ...?\)

Jawab:  \(A = 0,6\) m

b. Ditanyakan : \(\lambda = ...?\)

Jawab :

\(\lambda = \frac{s}{n}\)    \(\Rightarrow s = oq = 2\) m,    \(n = 2,5\) gelombang (dari o ke q terdapat 3 bukit dan 2 lembah = 2,5 gelombang)

\(\lambda = \frac{2}{2,5} = \frac{8}{10} = 0,8\) m

c. Ditanyakan:\(f = ...?\)

\(f = \frac{n}{t} \) Hz         \(\Rightarrow t = 0,5 \) detik,    \(n = 2,5\)

\(f = \frac{2,5}{0,5} = = \frac{25}{5} = 5\) Hz

d. Ditanyakan: \(\omega = ...?\)

Jawab: 

 \(\omega = 2\pi.f = 2\pi \times 5 = 10\pi\) rad/s

e. Ditanyakan : \(k = ...?\)

Jawab:

\(k = \frac{2\pi}{\lambda}\)

\(k = \frac{2\pi}{0,8} = 2,5\pi\) m\(^{-1}\)

f. Ditanyakan : \(\theta_0 = ...?\) di titik asal

Jawab: 

\(\theta_0 \) di titik asal terjadi saat \(t = 0\) s dan \(x = 0\) m, 

Dari informasi soal diketahui bahwa " saat awal pengamatan titik asal berada di posisi setimbang lalu bergerak ke arah y(+)" \(\Rightarrow y_0 = 0\) dikuadran I (sudut fasenya antara \(0^o\) s/d \(90^o\)). Jadi:

 \(\Rightarrow y_0 = A.sin(\theta_0\))

 \(\Rightarrow 0 = 0,6.sin(\theta_0\))

 \(\Rightarrow sin(0) = sin(\theta_0\))

 \(\Rightarrow \theta_0 = 0\)

g. Ditanyakan : \(y = ...?\) 

Diketahui: \(A = 0,6\) m,    \(\omega = 10\pi\) rad/s,       \(k = 2,5\pi\) m\(^{-1}\),       \(\theta_0 = 0\)

     

Jawab:

\(y = A.sin(\omega.t \pm k.x + \theta_0\))     karena merambat ke kanan, maka tanda di kiri \(k\) adalah (\(-\)).

\(\Rightarrow  y = 0,6.sin(10\pi.t - 2,5\pi.x \))

Contoh Soal dan Pembahasan Gelombang Berjalan Part 4.

Menentukan Besaran-Besaran Gelombang dari Fungsi Grafik Simpangan Gelombang Terhadap Jarak

Contoh soal:

Suatu gelombang berjalan dari titik o ke q, sebagaimana diperlihatkan grafik fungsi simpangan terhadap jarak sebagai berikut ini:

Untuk merambat dari titik o ke titik q diperlukan waktu 0,5 detik. Maka berdasarkan informasi yang diberikan tentukan:

a. Amplitudo gelombang

b. Panjang gelombang

c. Frekuensi gelombang

d. Beda fase antara antara titik o dan titik p

e. Fase di titik p jika titik asal telah bergetar sebanyak 4 kali

f. Beda sudut fase antara titik o dan titik p

g. Sudut fase di titik p jika titik asal telah bergetar sebanyak 4 kali

h. Beda fase di titik asal setelah begetar selama 2 detik

i. Beda sudut fase di titik asal setelah begetar selama 2 detik.

 Pembahasan:

a. Ditanyakan: \(A = ...?\)

Jawab:  \(A = 0,6\) m

b. Ditanyakan : \(\lambda = ...?\)

Jawab :

\(\lambda = \frac{s}{n}\)    \(\Rightarrow s = oq = 2\) m,    \(n = 2,5\) gelombang (dari o ke q terdapat 3 bukit dan 2 lembah = 2,5 gelombang)

\(\lambda = \frac{2}{2,5} = \frac{8}{10} = 0,8\) m

c. Ditanyakan:\(f = ...?\)

\(f = \frac{n}{t} \) Hz         \(\Rightarrow t = 0,5 \) detik,    \(n = 2,5\)

\(f = \frac{2,5}{0,5} = = \frac{25}{5} = 5\) Hz

d. Ditanyakan: \(\Delta \varphi_{op} = ....?\) 

Jawab: 

rumus beda fase antara dua titik dinyatakan dengan persamaan:

\(\Delta \varphi_{op} = |\frac{\Delta x_{op}}{\lambda}|\)     diketahui, \(\Delta x_{op} = 0,9\) m, dan \(\lambda = 0,8\) m

\(\Rightarrow \Delta \varphi_{op} = |\frac{0,9}{0,8}| = \frac{9}{8}\)

e. Ditanyakan \(\varphi_p = ...?\)

Jawab :

\(\Delta \varphi_{op} = \varphi_o - \varphi_p\)    diketaui: \(\varphi_o = 4\), dan dari soal d. bahwa \( \Delta \varphi_{op} = \frac{9}{8}\)

\(\Rightarrow \frac{9}{8} =  4 - \varphi_p\)

\(\Rightarrow \varphi_p  =  4 - \frac{9}{8} = \frac{32}{8} - \frac{9}{8}\)

\(\Rightarrow \varphi_p  =  \frac{23}{8} = 2 \frac{7}{8}\)

Artinya, ketika titik asal telah bergetar sebanyak 4 kali, maka titik p telah bergetar sebanyak \(2 \frac{7}{8}\) kali.

f. Ditanyakan \(\Delta \theta_{op} = ....?\)

jawab : 

\(\Delta \theta_{op} = 2\pi. \Delta \varphi_{op}\)        diketahui \(\Delta \varphi_{op} = \frac{9}{8}\)

\(\Rightarrow \Delta \theta_{op} = 2\pi \times \frac{9}{8}\)

\(\Rightarrow \Delta \theta_{op} = \frac{9}{4}\pi\)

g. Ditanyakan \( \theta_p = ....?\) 

Jawab: 

\( \theta_p = 2\pi. \varphi_p \)    diketahui \(\varphi_p = \frac{23}{8}\) (lihat soal e.)

\(\Rightarrow \theta_p = 2\pi \times \frac{23}{8} = \frac{23}{4}\)

\(\Rightarrow \theta_p = 5\frac{3}{4}\pi\) rad

h. Ditanyakan: \(\Delta \varphi_o = ...?\)     Diketahui \(\Delta t = 2\) detik

untuk menentukan beda fase \(\Delta \varphi\) di suatu titik dalam selang waktu \(\Delta t\) yang berbeda, gunakan persamaan, berikut:

\(\Delta \varphi_o = \frac{\Delta t}{T}\) atau \(\Delta \varphi_o = \Delta t . f\)    di mana \(f = 5\) Hz

\(\Rightarrow \Delta \varphi_o = \Delta t . f = 2\times 5 = 10\)

Artinya selama selang waktu 2 detik, titik asal telah bergetar sebanyak 10 kali.

i. Ditanyakan \(\Delta \theta_o = ...?\)

Jawab: 

\(\Delta \theta_o = 2\pi . (\Delta \varphi_o\)        \(\Delta \varphi_o = 10\) (lihat soal h)

\(\Rightarrow \Delta \theta_o = 2\pi .10 = 20\pi\) rad

 

Contoh Soal dan Pembahasan Gelombang Berjalan Part 3.

Deskripsi: Menentukan Simpangan Gelombang di Suatu Titik Berjarak x dari Titik Asal Gelombang.

Contoh Soal.

Sebuah gelombang berjalan merambat dari o ke pdengan fungsi simpangan \(y = 0,4.sin(2\pi.t - 4\pi.x + \frac{\pi}{3}\)), dengan \(y\) dan \(x\) dalam meter. Berdasarkan fungsi tersebut tentukan:

a. Simpangan di titik p yang berjarak 25 cm dari titik asal o, dan titik asal o telah bergetar selama 4,5 detik

b. Simpangan di suatu titik saat sudut fasenya \(4,25\pi\)

c. Simpangan di suatu titik saat fasenya \(\frac{3}{8}\)

Pembahasan

a. Diketahui:

\(y = 0,4.sin(2\pi.t - 4\pi.x + \frac{\pi}{3}\)), dengan \(y\) dan \(x\) dalam meter

\(x = 25\) cm \(=0,25\) m,    \(t = 4,5 \) detik

Ditanyakan: \(y_p = .... ?\)

Jawab:

\(y_p = 0,4.sin(2\pi \times 4,5 - 4\pi \times 0,25 + \frac{\pi}{3}\))

\(y_p = 0,4.sin(9\pi  - \pi + \frac{\pi}{3}\))

\(y_p = 0,4.sin(8 \frac{1}{3}\pi\))   \(\Rightarrow sin(8 \frac{1}{3}\pi = sin(8 \frac{1}{3}\pi\ - 8\pi) = sin(\frac{1}{3}\pi) \) \(\Rightarrow sin(8\pi) = sin(2n\pi) = sin(0)\) 

\(y_p = 0,4.sin( \frac{1}{3}\pi) = 0,4.sin( 60^o ) = 0,4 \times \frac{1}{2}\sqrt{3}\)

\(y_p = 0,2\sqrt{3}\) m

b.  Diketahui:

\(\theta_p = 4,25\pi rad\)

Ditanya: \(y_p = ...?\)

Jawab:

\(y = 0,4.sin(2\pi.t - 4\pi.x + \frac{\pi}{3}\))     \(\Rightarrow y = 0,4.sin(\theta\))

\(\Rightarrow y_p = 0,4.sin(4,25\pi\))     \(\Rightarrow y_p = 0,4.sin(0,25\pi\)) 

\(y_p = 0,4.sin(4,25\pi\))

\(y_p = 0,4.sin(0,25\pi\))

\(y_p = 0,4.sin(45^o\))

\(y_p = 0,4 \times \frac{1}{2}\sqrt{2}\)

\(y_p = 0,2 \sqrt{2}\) m

c. Diketahui: 

\(\varphi_p = \frac{3}{8}\)

Ditanya: \(y_p = ...?\)

Jawab :

\(y = 0,4.sin(2\pi.t - 4\pi.x + \frac{\pi}{3}\))     \(\Rightarrow y = 0,4.sin(2\pi \varphi \))

\(y_p  = 0,4.sin(2\pi \times \frac{3}{8} \))

\(y_p  = 0,4.sin( \frac{3}{4}\pi \))    

\(\Rightarrow y = 0,4.sin(135^o \))

\(y_p = 0,4 \times \frac{1}{2}\sqrt{2}\)

\(y_p = 0,2 \sqrt{2}\) m

Contoh Soal dan Pembahasan Gelombang Berjalan Part 2.

Deskripsi: Besaran-Besaran Dasar dari Persamaan Simpangan Gelombang Berjalan.

Contoh Soal.

Sebuah gelombang berjalan merambat dengan fungsi simpangan \(y = 0,8.sin(4\pi.t - 2\pi.x + \frac{\pi}{6}\)), dengan \(y\) dan \(x\) dalam meter. Berdasarkan fungsi tersebut tentukan:

a. Ampitudo Gelombang (\(A\))

b. Frekuensi gelombang (\(f\))

c. Panjang gelombang (\(\lambda\))

d. Arah rambat

e. Sudut fase awal gelombang (\(\theta_0\))

f. Simpangan awal (\(y_0\)) titik asal gelombang.

Pembahasan.

Persamaan umum gelombang berjalan adalah \(y = A.sin(\omega.t \pm k.x + \theta_0\))

Di mana: \(A = \) Amplitudo,    \(\omega =\) kecepatan sudut (rad/s)    \(\Rightarrow \omega = 2\pi.f\) (\(f=\) frekuensi (Hz),   \(t =\) selang waktu getar titik asal gelombang (s),    \(k =\) bilangan gelombang     \(\Rightarrow k = \frac {2\pi}{\lambda}\) (\(\lambda =\) panjang gelombang,    \(x =\) Jarak titik ke titik asal.

Untuk arah getar lihat tanda \(\pm\) dikiri k, jika tandanya \(-\) maka arah rambat ke kanan, tandanya \(+\) maka arah rambat ke kiri. 

Maka dari persamaan: \(y = 0,8.sin(4\pi.t - 2\pi.x + \frac{\pi}{3}\)), dapat ditentukan:

a. \(A =0,8 \) m

b. \(\omega =  4\pi\)     \(\Rightarrow  2\pi.f = 4\pi\)    \(\Rightarrow  f =\frac {4\pi}{2\pi}\)    \(\Rightarrow  f = 2\) Hz

\(\Rightarrow T = \frac{1}{f} = \frac{1}{2} = 0,5\) sekon

c. \(k = 2\pi\)    \(\Rightarrow  2\pi= \frac {2\pi}{\lambda} \)     \(\Rightarrow  \lambda = \frac {2\pi}{2\pi} \)      \(\Rightarrow  \lambda = 1\) m 

d. Karena di kiri \(k = 2\pi\) bertanda (\(-\)), maka arah rambat gelombang ke kanan.

e. \(\theta_0 = \frac{\pi}{6}\) rad atau \(\theta_0 = \frac{180^o}{6} = 30^o\)        \(; \pi\)rad \(=180^o\)

f. \(y_0\) titik asal gelombang terjadi saat \(t = 0\) s di \(x = 0 \) m

\(\Rightarrow y_0 = 0,8.sin(4\pi \times 0 - 2\pi \times 0 + \frac{\pi}{3}\))    

\(\Rightarrow y_0 = 0,8.sin( \frac{\pi}{3}) = 0,8.sin( 60^o) = 0,8 \times \frac{1}{2}\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow y_0 = 0,4\sqrt{3}\) m

Contoh Soal dan Pembahasan Gelombang Berjalan. Part 1.

Deskripsi: Menentukan Amplitudo, Panjang Gelombang, Frekuensi dan Periode Gelombang, dan Cepat Rambat Gelombang dari Gambar Fungsi Gelombang.

Contoh Soal:

Suatu gelombang berjalan merambat dari titik A ke B, seperti diperlihatkan Gambar di bawah ini.

 

Untuk merambat dari A ke B gelombang membutuhkan waktu 0,5 detik. Tentukan:

a. Amplitudo gelombang

b. Banyak gelombang dari A ke B

c. Panjang gelombang

d. frekuensi gelombang

e. Cepat rambat gelombang

Penyelesaian:

a. Amplitudo (A) adalah simpangan terjauh gelombang dari titik/sumbu setimbang (sumbu x), atau jarak puncak/lembah ke titik/sumbu x

\(\Rightarrow  A = 0,6\) m

b. Untuk mengetahui banyak gelombang \(n\), pahami dulu definisi panjang satu gelombang (λ), pada gelombang transversal berikut ini!

λ = Jarak 1 bukit 1 lembah/ bukit ke bukit/ lembah ke lembah.

Perhatikan soal gambar, 

Maka: \(n = 2,5\) gelombang.

c. Ditanyakan panjang satu gelombang λ = ...?

\(\Rightarrow \lambda = \frac{s}{n} \)

\(\Rightarrow \lambda = \frac{10}{2,5} \) m

\(\Rightarrow \lambda = 4 \) m

d. Ditanyakan panjang satu gelombang \(f =\) ...?

\(\Rightarrow f = \frac{n}{t} \)   

Diketahui:     ; \(n = 2,5\),    \(t = 0,5\) s

\(\Rightarrow f = \frac{2,5}{0,5} \)

\(\Rightarrow f = 5 \) Hz

e. Ditanyakan cepat rambat gelombang \(v = ....\)?
Rumus
\(\Rightarrow v = \frac{s}{t} = \lambda.f = \frac{\lambda}{T} \) 

Diketahui:     \(\lambda = 4 \) m, \(f = 5 \) Hz  
\(\Rightarrow v = \lambda \times f = 4 \times 5 = 20\) m.s\(^{-1}\), 

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN MOMEN INERSIA UNTUK PARTIKEL

Konsep Momen Inersia:

Momen Inersia (kelembaman rotasi) adalah kecenderungan suatu benda untuk mempertahankan keadaan gerak rotasinya.

- Benda cenderung diam, jika awalnya diam, atau
- Benda cenderung terus berputar jika awalnya telah berputar.

Moment inersia terbagi dua, yaitu
- Momen inersia untuk partikel dan,
- Momen inersia untuk benda tegar

Momen inersia untuk partikel

Benda partikel adalah sebuah tinjauan yang menganggap objek sebagai benda titik bermassa .

Ket:
\(I\) = momen inersia partikel (\(kg.m^2\))
\(m\) = massa partikel (m)

\(L\) = panjang penghubung partikel \(m\) dengan sumbu putar (m)

 \(r\) = jarak terdekat partikel terhadap sumbu putar (m)

Contoh Soal 1: Momen Inersia untuk Partikel
Tiga buah partikel saing terhubung pada suatu sumbu x-y seperti gambar berikut ini!

Berdasarkan gambar, tentukan momen inersia total jika:
a. Sumbu rotasi adalah sumbu x
b. Sumbu rotasi adalah sumbu y Sumbu rotasi adalah titik pusat koordinat

c. Sumbu rotasi adalah titik pusat koordinat

Penyelesaian:

a. ditanyakan \(\Sigma I_x = ....?\)

jawab:

\(\Sigma I_x = I_{1x} + I_{1x} + I_{1x}\)

\(\Sigma I_x = m_1.(r_{1x})^2 + m_2.(r_{2x})^2 + m_3.(r_{3x})^2\)

di mana: 

\(r_{1x} = 0\),
\(r_{2x} = L_2.sin(53) = 0,5\times 0,8 = 0,4 \) m
\(r_{3x} = 0,2\) m

\(\Sigma I_x = 2 \times (0)^2 + 4 \times(0,4)^2 + 8\times (0,2)^2\)

\(\Sigma I_x = 0+0,64+0,32\) \(kg.m^2\)

\(\Sigma I_x = 0,96\) \(kg.m^2\)

b. ditanyakan \(\Sigma I_y = ....?\)

jawab:

\(\Sigma I_y = I_{1y} + I_{1y} + I_{1y}\)

\(\Sigma I_y = m_1.(r_{1y})^2 + m_2.(r_{2y})^2 + m_3.(r_{3y})^2\)

di mana: 

\(r_{1y} = 0,3\) m, 
\(r_{2y} = L_2.cos(53) = 0,5\times 0,6 = 0,3 \) m,
\(r_{3y} = 0\) m

\(\Sigma I_y = 2 \times (0,3)^2 + 4 \times(0,3)^2 + 8\times (0)^2\)

\(\Sigma I_y = 0,18+0,36+0\) \(kg.m^2\)

\(\Sigma I_y = 0,54\) \(kg.m^2\)

c. ditanyakan: \(\Sigma I_p = ....?\)

(sumbu putar adalah pusat koordinat, semuat benda ikut berputar seperti baling-baling) 

jawab:

\(\Sigma I_p = I_{1p} + I_{1p} + I_{1p}\)

\(\Sigma I_p = m_1.(r_{1p})^2 + m_2.(r_{2p})^2 + m_3.(r_{3p})^2\)

di mana: 

\(r_{1p} = 0,3\) m, 
\(r_{2p} = 0,5 \) m
\(r_{3p} = 0,2\) m

\(\Sigma I_p = 2 \times (0,3)^2 + 4 \times(0,5)^2 + 8\times (0,2)^2\)

\(\Sigma I_p = 0,18+1+0,32\) \(kg.m^2\)

\(\Sigma I_p = 1,50\) \(kg.m^2\)

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN TENTANG TORSI/ MOMEN GAYA

Soal 1: Poros, Lengan Gaya, titik tangkap gaya dan garis kerja gaya 

Jelakan apa yang dimaksud dengan Poros (Putaran), Titik Tangkap Gaya, Lengan Gaya dan Garis Kerja Gaya?

Jawab: 

• Poros (Putaran) adalah titik pusat gerak berputar/melingkar suatu benda.
• Lengan gaya adalah garis yang ditarik dari poros, memotong tegak lurus garis kerja gaya. Perhatikan gambar berikut.
• Titik Tangkap Gaya adalah titik bekerjanya suatu gaya.
• Garis Kerja gaya, adalah garis (khayalan) memanjang yang sejajar dan berpimpit dengan garis panah vektor suatu gaya.

Soal 2: Garis lengan gaya, garis kerja gaya, dan titik tangkap gaya. 

Suatu batang AB yang panjangnya \(r\) diberikan gaya \(F\) seperti gambar berikut.

Jika titik A berperan sebagai poros, tentukan manakah: garis lengan gaya, garis kerja gaya, dan titik tangkap gaya. 

Jawab: 

• Garis lengan gaya = garis AC (\(l\))
• Garis kerja gaya = garis \(pq\)
• Titik tangkap gaya = titik B

Soal 3: Lengan gaya dan torsi pada benda garis/batang panjang. 

Perhatikan gambar soal 2 di atas. Jika panjang batang AB = 1 meter, \(\theta = 37^o\) dan gaya \(F = 20 N\), jika titik A berperan sebagai poros tentukan: (a) besar lengan gaya, (b) besar torsi/ momen gaya akibat gaya \(F\), dan (c) arah rotasi torsi akibat gaya \(F\)

Jawab:

(a). \(l= r \times sin(\theta) \) \(\Rightarrow l= AB \times sin(37^o)\)

      \(l= 1 \times sin(37^o) = 1 \times {3\over 5}=0,6 \) m

(b) \(\tau = l \times F \Rightarrow \tau = 0,6 \times 20\)
      \(\tau = 12 \) m.N

(c)  Perhatikan gambar berikut.

Berdasarkan gambar tersebut, arah putaran torsi yang diakibatkan oleh gaya \(F\) adalah searah putaran jarum jam.

Soal 4: Torsi pada batang dan arah putarnya 

Suatu gaya \(F\) bekerja pada batang PR seperti gambar berikut.

 Diketahui panjang PR = 70 cm, QR = 20 cm, besar gaya F = 20 N dan poros berada di titik P. Tentukan besar torsi/momen gaya oleh gaya \(F\) dan arah putarannya!

Jawab:

Perhatikan gambar berikut. 

\(\tau = l \times F \Rightarrow \tau = PS \times F\)

\(\tau = PQ.sin (\theta) \times F\) \(\Rightarrow PQ = 50\) cm \(= {1 \over 2}\) m
\(\tau = {1 \over 2}.sin (60^o)  \times 20\)

\(\tau = {1 \over 2}\times {1 \over 2} \sqrt{3}  \times 20\)

\(\tau = 5 \sqrt{3} \) m.N (Berlawanan arah putaran jarum jam).

Soal 5: 

Tiga gaya \(F_1 , F_2 \) dan \(F_3\) bekerja pada batang AC, seperti gambar di bawah ini.

 

Diketahui AC = 1 meter BC = 0,2 meter. Jika titik B berperan sebagai poros tentukan resultan torsi yang bekerja pada batang!

Jawab:

Tentukan dahulu tanda torsi sesuai arahnya, misal: tanda \(\tau \Rightarrow (+)\) jika arahnya berlawanan putaran jarum jam, tanda \(\tau \Rightarrow (-)\) jika arahnya searah putaran jarum jam. 

Perhatikan gambar berikut!

\(\Sigma \tau_B = \tau_1 + \tau_2 + \tau_3\)

• \(\tau_1 = AB.sin(53^o) \times F_1 = 0,8\times 0,8\times 5\)

\(\tau_1 = 3,2 \) m.N

• \(\tau_2 = 0\) (bekerja di titik poros, torsinya = 0)
• \(\tau_3 = - BC.sin(37^o) \times F_3 = - 0,2\times 0,6 \times 10\)

\(\tau_3 = -1,2 \) m.N

Jadi

\(\Sigma \tau_B = 3,2 + 0 - 1,2\) m.N

\(\Sigma \tau_B = 2 \) m.N (berlawanan arah putaran jarum jam).

Soal 6.
Perhatikan gaya-gaya yang bekerja pada lempeng persegi panjang ABCD berikut ini!

Jika titik pusat O adalah poros, tentukan besar torsi total yang bekerja dan arah rotasinya ….!


Penyelesaian.
Penyelesaian. Perhatikan gambar berikut ini!

Ditanyakan: \(\Sigma \tau_o = ....?\)
Jawab:
\(\Sigma \tau_o = \tau_1 + \tau_2 +\tau_3 + \tau_4\)
Di mana,
\(\tau_1 = l_1 \times F_1 = 0,6 \times 20 = 12 \) N.m
\(\tau_2 = 0 \Rightarrow \) (menjauhi titik poros)
\(\tau_3 = - l_3 \times F_3 = 0,6 \times 15 = - 12 \) N.m
\(\tau_4 = \tau_{4x} + \tau_{4x}\)
\(\tau_{4x} = l_{4x} \times F_{4x} = 0,6 \times F_4.cos(53^o)\)
\(\tau_{4x} = {6 \over 10} \times 10 \times {3 \over 5} = 3,6\) N.m
\(\tau_{4y} = - l_{4y} \times F_{4y} = 0,6 \times F_4.sin(53^o)\)
\(\tau_{4y} = - {6 \over 10} \times 10 \times {4 \over 5} = - 4,8\) N.m
jadi 

\(\Sigma \tau_o = 12 + 0 -12 + (3,6 -4,8)\)
\(\Sigma \tau_o = + 1,8\) N.m (berlawanan arah putaran jarum jam)

  

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN GHS 6: ENERGI GETARAN

Energi Potensial Getaran Pegas

Berikut ini adalah persamaan energi potensial getaran pada pegas

Di mana, \(Ep =\) Energi potensial getaran pegas (Joule),    \(F_p =\) gaya pemulih pegas (N),    \(k = \) konstanta/tetapan gaya pegas (N/m), \(y\) dan \(x\) adalah simpangan beban (m).

Energi Potensial Getaran Pegas

Berikut ini adalah persamaan energi Kinetik pada pegas yang bergetar.

Keterangan: \(Ek =\) energi kinetik getaran pegas (Joules),  \(A = \) amplitudo getaran (m),  \(m = \) massa beban (kg), dan \(v = \) kecepatan getar (m/s).

Energi Mekanik Getaran Pegas

Energi Mekanik adalah kesatuan jumlah energi potensial getaran dan kinetik pada sistem gerak benda. Energi mekanik disebut juga sebagai energi total getaran.

Contoh Soal 1 Energi Getaran

Pada suatu sistem pegas yang sedang bergetar horizontal bekerja gaya pemulih sebesar 5 N ketika posisi beban 4 cm dari posisi setimbangnya, tentukan besar energi osilasi sistem pegas pada saat itu!

Diketahui:

\(F_p =\) 5 N ,   

x = 4 cm = 4 × \(10^{-2}\)  m

Ditanyakan:

 

Ep= ….? 

Jawab:

Ep = \({1\over 2} F_p.x = {1\over 2}\) × 5 ×  (4 × \(10^{-2}\))

Ep = 10 × \(10^{-2}\) = \(10^{-1}\)

Ep = 0,1 Joule

Contoh Soal 2 Energi Gerak Harmonik Sederhana

Suatu pegas dengan tetapan gaya 800 N/m digantungi beban 500 gr. Beban ditarik sejauh 10 

cm, lalu kemudian dilepaskan sehingga bergetar harmonik. Tentukan:

a. Energi potensial pegas saat simpangan beban setengah dari simpangan maksimumnya

b. Energi kinetik beban saat simpangannya setengah dari simpangan maksimumnya

c. Energi total beban

d. Kecepatan beban saat simpangannya setengah dari simpangan maksimumnya 

Diketahui:

k = 800 N/m, m = 500 gr = 0,5 Kg,

A = 10 cm = 0,1 m

a. Ditanyakan: Ep= ….?

\(\Rightarrow\) y = \(1\over 2\)A = 5 cm = 5 × \(10^{-2}\)  m

Jawab:

Ep = \(1\over 2\)k.\(y^2\)

Ep = \(1\over 2\) × 800 ×\((5 ×10^{-2})^2\)

Ep = 400 × 25 ×\(10^{-4}\) = 10000 × \(10^{-4}\) = 1 Joule

  

b.     Ditanyakan: Ek = ….?

\(\Rightarrow\) y = \(1\over 2\)A = 5 cm = 5 × \(10^{-2}\)  m

Jawab: 

Ek = \(1\over 2\) k.\((A^2-y^2)\)

Ek = \(1\over 2\) × 800 × (\((10^{-1})^2 - (5 ×10^{-2})^2)\))

Ek = 400 ×(\(10^{-2} - 25 × 10^{-4}\))

Ek = 400 × (\(100 × 10^{-4} - 25 × 10^{-4}\))

Ek = 400 × 75 × \(10^{-4}\)

Ek = 30000 × \(10^{-4}\)

Ek = 3 Joule

c. Ditanyakan: EM = …..? 

\(\Rightarrow\)  y = \(1\over 2\)A = 5 cm = 5 ×\(10^{-2}\) m

(catatan: EM= energi total) 

Jawab:

EM = Ep + Ek

Untuk y = 5 ×\(10^{-2}\)  m \(\Rightarrow\) EP = 1 Joule, EK=3 Joule, 

Sehingga:

EM = 1 + 3 = 4 Joule

d.    Ditanyakan: \(v = \) ….?

Jawab:

Ek = \({1\over 2}m.v^2\) , sehingga

3 = \({1\over 2} × {1\over 2} × v^2\) 

\(v^2=12\)

\(v = \sqrt {12} = 2\sqrt {3}\) m/s

 

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN GHS 5: PERCEPATAN GETAR

Percepatan getar adalah nilai perubahan kecepatan suatu benda yang bergetar harmonik pada suatu waktu tertentu.

\(a_t = {dv_t\over d_t}\)

Persamaan Percepatan Getar Pada GHS

Secara matematis, konsep dasar dari percepatan getar (\(a_t\)) adalah ….

Percepatan getar maksimum

Contoh Soal Percepatan Getar:

Suatu beban bergetar harmonik dengan persamaan simpangan getar  \(y = 20 sin (2,5π.t + π/3) \) cm. Tentukan:

a. Persamaan percepatan getarnya

b. Percepatan getar setelah bergetar 10 detik

c. Percepatan getar maksimumnya

d. Percepatan getarnya saat simpangannya 10 cm di bawah titik setimbang

e. Percepatan getarnya saat kecepatan getarnya bernilai setengah dari kecepatan getar maksimumnya

Diketahui:

A = 20 cm, ω = 2,5π rad.s-1, \(θ_0\) = π/3 rad

a. Ditanyakan: \(a_t = ....?\)

Jawab:

\(a_t = -A.ω^2\).sin(ω.t + \(θ_0\))

\(a_t = -20×(2,5π)^2\).sin(2,5π.t + π/3)

\(a_t = -20×6,25π^2\).sin(2,5π.t + π/3)

\(a_t = -125π^2\).sin(2,5π.t + π/3) cm.s\(^{-2}\)

\(a_t = -1,25π^2\).sin(2,5π.t + π/3) m.s\(^{-2}\)



b. Ditanyakan: \(a_{10} = ....? \Rightarrow t = 10\) sekon

Jawab:

\(a_t = -1,25π^2\).sin(2,5π × 10 + π/3) m.s\(^{-2}\)

\(a_t = -1,25π^2\).sin(25π + π/3) m.s\(^{-2}\)

\(\Rightarrow\) θ = 25π + π/3 - 24π = \(1 {1\over 3} π\) \(=240^o\)

\(a_t = -1,25π^2\).sin(\(240^o\)) m.s\(^{-2}\)

\(a_t = -1,25π^2 × (-{\sqrt{3}\over 2}) \) m.s\(^{-2}\)

\(a_t = +0,625π^2 \) m.s\(^{-2}\)

(tanda + artinya, arah percepatan adalah ke atas)

 

c. Ditanyakan: 

\(a_{maks} = …..?\)

Jawab: 

\(a_{maks} = -A.ω^2 \)

\(a_{maks} = -1,25π^2\) m.s\(^{-2}\)


d. Ditanyakan:

\(a_t = ….? \Rightarrow y_t =-10\) cm \(= {1\over10}\) m


Jawab:

\(a_t = -ω^2.y_t \)

\(a_t = -(2,5π)^2×{1\over 10}\)

\(a_t = - 6,25π^2×{1\over 10}\)

\(a_t = - 0,625π^2\) m.s\(^{-2}\)

e. Ditanyakan:

\(a_t = ….? \Rightarrow v_t = {1\over 2} v_{maks} = {1\over 2} Aω\)

Jawab:

\(a_t = -Aω^2\).sin⁡θ

\(a_t = a_{maks}\).sin⁡θ ….(e.1)

Temukan θ, dari \(v_t\)

\(v_t=\)Aω cos⁡θ

1/2 Aω = Aω cos⁡θ

1/2 = cos⁡θ

cos⁡60 = cos⁡θ \(\Rightarrow θ = 60^o\)

Subtitusikan nilai θ ke persaman (e.1), sehingga menjadi:

\(a_t = -1,25π^2\)×sin(\(60^o\))

\(a_t = -1,25π^2×{1\over 2} \sqrt{3}\)

\(a_t = -0,625π^2\sqrt{3}\) m.s\(^{-2}\)

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN GHS 4: KECEPATAN GETAR

Persamaan kecepatan Getar (\(v_t\)) Pada GHS

Kecepatan getar adalah nilai perubahan posisi suatu benda yang bergetar harmonik pada suatu waktu tertentu.

Secara matematis, konsep dasar dari percepatan getar (\(v_t\)) adalah

\(v_t ={dy\over dt}\)  atau \(v_t={dx\over dt}\)

Berikut ini rumus jadi kecepatan getar

(Catatan : Jika simpangan y atau x menggunakan cos, maka cos persamaan di atas diganti dengan \(-sin\) )

Atau 

(Catatan: y dapat diganti dengan x (untuk arah getar horizontal)

Kecepatan getar maksimum (\(v_{maks}\))

Contoh 1 persamaan kecepatan getar:

Sebuah pertikel bergetar harmonik dengan persamaan simpangan \(x_t\) =10 sin⁡(5πt + π/2)  cm. Tentukan:

a. Persamaan kecepatan getarnya

b. Nilai kecepatan getarnya setelah bergetar selama 4,15 detik

c. Kecepatan getar maksimumnya

Diketahui:

\(x_t\) =10 sin⁡(5πt+π/2)  cm.  

\(\Rightarrow\) A =10 cm, ω = 5π rad.s\(^{-1}\) dan  \(θ_0\) = π/2  rad

a. Ditanyakan: \(v_t = ….? \)

Jawab:

 

\(v_t\) = A.ω.cos⁡(ω.t + \(θ_0\) )

\(v_t\) = 10×5π.cos⁡(5πt + π/2)

\(v_t\) = 50π.cos⁡(5πt + π/2) cm.s\(^{-1}\)

b. Ditanyakan: \(v_{4,15}\) = ….? pada t = 4,15 s

Jawab:

 

\(v_t\) = 50π.cos⁡(5πt + π/2) cm.s\(^{-1}\)

\(v_t\) = 50π.cos⁡(5π × 4,15 + 0,5π) cm.s\(^{-1}\)

\(v_t\) = 50π.cos⁡(20,75π + 0,5π) cm.s\(^{-1}\)

\(v_t\) = 50π.cos⁡(21,25π) cm.s\(^{-1}\)

\(\Rightarrow\) θ = 21,25π - 20π = 1,25π

\(v_t\) = 50π.cos⁡(1,25π) cm.s\(^{-1}\) 

\(v_t\) = 50π.cos⁡(\(225^o\) ) cm.s\(^{-1}\) 

\(v_t\) = \(50π\times (-{\sqrt 2\over 2}\)) cm.s\(^{-1}\) 

\(v_t\) = \(-25π\times {\sqrt 2\over 2}\) cm.s\(^{-1}\)

(tanda (-) artinya, partikel sedang bergerak ke bawah.)

c. Ditanyakan:  \(v_{maks} = ….?\)

Jawab: 

\(v_{maks}\) = A.ω 

\(v_{maks}\) = 50π cm.s\(^{-1}\)

Contoh 2 Kecepatan Getar: 

Sebuah pegas dengan tetapan gaya 100 N.m\(^{-1}\) digantungi beban 250 gram dan bergerak harmonik secara horizontal di atas lantai licin. Jika simpangan terjauh beban adalah 8 cm. Tentukan  kecepatan getar pegas saat posisi beban 4 cm di kiri titik setimbang ….?

Diketahui:

\(k =100\) N.m\(^{-1}\) , m = 250 gram = 0,25 kg

A = 8 cm = 8 × \(10^{-2}\) m , \(x\) = 4 cm = 4 × \(10^{-2}\)  m 

Ditanyakan: 

\(v_t = …..?\) 

Jawab:

 

\(v_t = \sqrt {{k\over m} × (A^2 - x^2)} \)

\(v_t = \sqrt {{100\over 0,25} × ((8 × 10^{-2})^2 - (4 × 10^{-2})^2)} \)

\(v_t = \sqrt {{100\over 0,25} × (64 × 10^{-4} - 16 × 10^{-4})} \)

\(v_t = \sqrt {400 × 48 × 10^{-4} } \)

\(v_t = \sqrt {400 × 16 × 3 × 10^{-4} } \)

\(v_t = 20 × 4 × \sqrt{3 }× 10^{-2} \) cm.s\(^{-1}\)

\(v_t = 80\sqrt{3 }× 10^{-2} \) cm.s\(^{-1}\)

\(v_t = 0,8 \sqrt{3 }× 10^{-2} \) m.s\(^{-1}\)