Contoh Soal Gelombang Stasioner/Berdiri Ujung Bebas

Sebuah gelombang pada tali merambat ke kanan dengan fungsi simpangan $y=0,6.sin(6\pi .x-4\pi .t)$ dengan $y$ dan $x$ dalam meter. Di ujung kanan tali, gelombang tersebut dipantulkan ke kiri dan sefase dengan fungsi simpangan $y=0,6.sin(-6\pi .x-4\pi .t)$, gelombang datang dan pantul tersebut saling bersuper posisi/berpadu menghasilkan gelombang stasioner. Tentukan:

a. Jenis gelombang stasioner yang dihasilkan

b. Penurunan persamaan simpangan gelombang stasioner yang dihasilkan

c. Amplitudo maksimum Gelombang stasioner tersebut

d. Amplitudo Gelombang stasioner tersebut pada titik yang berjarak $1\frac{1}{8}$ m dari ujung tetap. 

e. Simpangan suatu titik yang berjarak $1\frac{1}{8}$ m dari ujung tetap, pada waktu getar = 10,375 s. 

f. Panjang gelombang gelombang stasioner

g. Cepat rambat gelombang stasioner tersebut

h. letak simpul ke lima dari ujung tetap

i. letak perut ke tiga dari ujung tetap

j. Jarak antara simpul dan perut yang berdekatan.

Pembahasan:

a. Ditanyakan:  Jenis gelombang stasioner yang dihasilkan?

Jawab:

karena gelombang pantul yang terjadi sefase (bukit menjadi bukit/lembah menjadi lembah) terhadap gelombang datangnya, itu hanya terjadi jika ujung pantulnya adalah bebas. 

Lihat gambar gelombang datang dan gelombang pantul (yang sefase, ke kiri) dari soal ini.

Maka jenis gelombang stasioner yang dihasilkan, adalah gelombang stasioner ujung bebas.

b. Ditanyakan: $y_s=.....?$

Diketahui: 

fungsi gelombang datang $y_d=0,6.sin(6\pi .x-4\pi .t)$, dan 

fungsi gelombang pantul, $y_p=0,6.sin(-6\pi .x-4\pi .t)\Rightarrow y_p=-0,6.sin(6\pi .x+4\pi .t)$.

Jawab:

Misal: 

$y_d=A.sin(p)$, di mana $A=0,6$ m dan $p=6\pi .x-4\pi .t$
$y_p=-A.sin(q)$, di mana $q=6\pi .x+4\pi .t$

$y_s=y_d+y_p=A.sin(p)-A.sin(q)=A(sin(p)-sin(q))$

Ingat kaidah matematika, berikut: 
$sin(p)-sin(q)=2.cos(\frac{p+q}{2}).sin(\frac{p-q}{2})$

Sehingga:
$A(sin(p)+sin(q))=2A.cos(\frac{p+q}{2}).sin(\frac{p-q}{2})$

Maka: 
$y_s=1,2.sin(\frac{(6\pi .x-4\pi .t)+(6\pi .x+4\pi .t)}{2}).cos(\frac{(6\pi .x-4\pi .t)-(6\pi .x+4\pi .t)}{2})$

$y_s=1,2.cos(6\pi .x).sin(4\pi .t)$

c. Ditanyakan: $A_{smaks}=...?$ (amplitudo gelombang stasioner maksimum)

Jawab: persamaan amplitudo gelombang stasioner ujung bebas adalah, $A_s=2A.cos(k.x)$

sehingga pada soal ini, $A_s=1,2.cos(6\pi .x)$

$A_{smaks}$ terjadi saat nilai $cos(6\pi .x)$ bernilai maksimum, yaitu = 1.

$\Rightarrow A_{smaks}=1,2$ m

d. Ditanyakan: $A_s=...?$ pada $x=1\frac{1}{8}$ m

Jawab: 

$A_s=|1,2.cos(6\pi .x)$|

$A_s=|1,2.cos(6\pi \times 1\frac{1}{8})$|

$A_s=|1,2.cos(6\frac{6}{8}\pi )$|     

$\Rightarrow 6\frac{6}{8}\pi =\frac{6}{8}\pi ={135}^o$

$A_s=|1,2.cos({135}^o)|=|1,2\times -\frac{1}{2}\sqrt{2}$|

$A_s=|-0,6\sqrt{2}|$ m

$A_s=|0,6\sqrt{2}|$ m

e. Ditanyakan: $y_s=...?$ di titik $x=1\frac{1}{8}$ m dari ujung tetap, dan $t=10,375$ s.

Jawab:

$y_s=1,2.cos(6\pi .x).sin(4\pi .t)$

$y_s=1,2.cos(6\pi \times 1\frac{1}{8}).sin(4\pi \times 10,375)$

$y_s=1,2.cos(6\frac{6}{8}\pi ).sin(41,5\pi )$     

$\Rightarrow 41,5\pi =1,5\pi ={270}^o$

$y_s=1,2.cos({135}^o).sin({270}^o)$

$y_s=1,2\times -\frac{1}{2}\sqrt{2}\times -1$

$y_s=0,6\sqrt{2}$ m

f. Ditanyakan: $\lambda =....?$ 

Jawab:

Persamaan simpangan gelombang stasioner ujung bebas adalah: 

$y_s=2A.cos(k.x).sin(\omega .t)$

di mana, pada soal ini diketahui bahwa, $2A=1,2$ m, $k=6\pi$, dan $\omega =4\pi$

Untuk menentukan $\lambda$ dapat digunakan dari nilai $k$, yaitu:

$k=\frac{2\pi }{\lambda }$

$6\pi =\frac{2\pi }{\lambda }$ 

$\lambda =\frac{2\pi }{6\pi }$ 

$\lambda =\frac{1}{3}$ m

g. Ditanyakan: $v=....?$ 

Jawab:

Berikut ini adalah rumus $v$, yaitu:

$v=\frac{s}{t}=\frac{\lambda }{T}=\lambda .f=\frac{\omega }{k}$

Untuk kasus soal ini, dapat digunakan rumus:

$v=\frac{\omega }{k}$

$v=\frac{4\pi }{6\pi }$

$v=\frac{2}{3}$ m/s

  

h. Ditanyakan: $x_{s5}=...$ 

Perhatikan titik simpul (s) dan perut (p) beserta urutannya pada gelombang stasioner ujung bebas berikut ini!

Perlu diketahui, bentuk satu gelombang $1\lambda$ dari gelombang stasioner adalah:

dengan demikian, letak simpul ke-n, dari ujung tetap dapat dinyatakan dengan rumus:

$x_{sn}=\frac{(2.n-1)}{4}\lambda$

Sehingga, untuk $n=5$, maka:

$x_{s5}=\frac{(2\times 5-1)}{4}\times \frac{1}{3}$ m

$x_{s5}=\frac{9}{4}\times \frac{1}{3}$ m

$x_{s5}=\frac{3}{4}$ m

i. Ditanyakan: $x_{p3}=....?$

Jawab:

Dari gambar  soal h. dapat ditentukan rumus letak perut ke-n dari ujung tetap, yaitu:

$x_{sn}=\frac{(n-1)}{2}\lambda$

Sehingga, untuk $n=3$, maka:

$x_{s5}=\frac{(3-1)}{2}\times \frac{1}{3}$ m

$x_{s5}=1\times \frac{1}{3}$ m

$x_{s5}=\frac{1}{3}$ m

J. Ditanyakan : $\mathrm{\Delta }{x}_{s-p}=.....?$ (jarak simpul dan perut yang berdekatan)

Jawab:

Dari gambar  soal h. dapat diketahui bahwa:

$\mathrm{\Delta }{x}_{s-p}=\frac{1}{4}\lambda$

$\mathrm{\Delta }{x}_{s-p}=\frac{1}{4}\times \frac{1}{3}$ m

$\mathrm{\Delta }{x}_{s-p}=\frac{1}{12}$ m