Contoh Soal dan Pembahasan Gelombang Berjalan Part 6.

Deskripsi: Besaran-Besaran Dasar, Kecepatan Getar, dan Percepatan Getar, dari Persamaan Simpangan Gelombang Berjalan.

Contoh Soal.

Sebuah gelombang berjalan merambat dengan fungsi simpangan \(y = 0,8.sin(4\pi.t - 2\pi.x + \frac{\pi}{6}\)), dengan \(y\) dan \(x\) dalam meter. Berdasarkan fungsi tersebut tentukan:

a. Ampitudo Gelombang (\(A\))

b. Frekuensi gelombang (\(f\))

c. Panjang gelombang (\(\lambda\))

d. Persamaan kecepatan getar \(v_y\)

e. Kecepatan getar maksimum \(v_{ymaks}\) 

f. Persamaan Percepatan getar \(a_y\)

g. Percepatan getar maksimum \(a_{ymaks}\)

h. kecepatan getar di titik p yang berjarak 25 cm dari titik asal o, dan titik asal o telah bergetar selama 4,5 detik

i. Percepatan getar di titik p yang berjarak 25 cm dari titik asal o, dan titik asal o telah bergetar selama 4,5 detik

Pembahasan.

Persamaan umum gelombang berjalan adalah \(y = A.sin(\omega.t \pm k.x + \theta_0)\)

Di mana: \(A = \) Amplitudo,    \(\omega =\) kecepatan sudut (rad/s)    \(\Rightarrow \omega = 2\pi.f\) (\(f=\) frekuensi (Hz),   \(t =\) selang waktu getar titik asal gelombang (s),    \(k =\) bilangan gelombang     \(\Rightarrow k = \frac {2\pi}{\lambda}\) (\(\lambda =\) panjang gelombang,    \(x =\) Jarak titik ke titik asal.

Untuk arah getar lihat tanda \(\pm\) dikiri k, jika tandanya \(-\) maka arah rambat ke kanan, tandanya \(+\) maka arah rambat ke kiri. 

Maka dari persamaan: \(y = 0,8.sin(4\pi.t - 2\pi.x + \frac{\pi}{3})\), dapat ditentukan:

a. \(A =0,8 \) m

b. \(\omega =  4\pi\)     \(\Rightarrow  2\pi.f = 4\pi\)    \(\Rightarrow  f =\frac {4\pi}{2\pi}\)    \(\Rightarrow  f = 2\) Hz

\(\Rightarrow T = \frac{1}{f} = \frac{1}{2} = 0,5\) sekon

c. \(k = 2\pi\)    \(\Rightarrow  2\pi= \frac {2\pi}{\lambda} \)     \(\Rightarrow  \lambda = \frac {2\pi}{2\pi} \)      \(\Rightarrow  \lambda = 1\) m 

d. Ditanyakan \(v_y = ...?\)

Jawab: 

\(v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d(A.sin(\omega.t \pm k.x + \theta_0))}{dt}\)

\(v_y = A. \omega.cos(\omega.t \pm k.x + \theta_0)\)

\(v_y = 0,8 \times 4\pi.cos(4\pi.t - 2\pi.x + \frac{\pi}{6})\) m/s

\(v_y = 3,2\pi.cos(4\pi.t - 2\pi.x + \frac{\pi}{6}\)) m/s

e. Ditanyakan: \(v_{ymaks} = ...?\)

Jawab: 

\(v_{ymaks} \) terjadi saat nilai \(cos(\theta)\) atau \(sin(\theta)\) (tergantung trigonometri yang ada di fungsi \(v_y\)) maksimum yaitu = 1.

\(v_{y} = A. \omega.cos(\omega.t \pm k.x + \theta_0) = A. \omega.cos(\theta) \) 

\(\Rightarrow v_{ymaks} = A. \omega =  0,8 \times 4\pi \) 

\(\Rightarrow v_{ymaks} = 3,2\pi\) m/s

f. Ditanyakan \(a_y = ...?\)

Jawab: 

\(a_y = \frac{d(a_y)}{dt} = \frac{d(A. \omega.cos(\omega.t \pm k.x + \theta_0))}{dt}\)

\(a_y = - A. \omega^2.sin(\omega.t \pm k.x + \theta_0)\)

\(a_y = - 0,8 \times (4\pi)^2.sin(4\pi.t - 2\pi.x + \frac{\pi}{6})\)

\(a_y = - 0,8 \times 16\pi^2.sin(4\pi.t - 2\pi.x + \frac{\pi}{6})\) 

\(a_y = - 12,8\pi^2.sin(4\pi.t - 2\pi.x + \frac{\pi}{6})\) m.s\(^{-2}\)

Tanda (\(-\)) menyatakan bahwa arah \(a_y\) suatu titik, selalu berlawanan dengan arah posisi/simpangan getar \(y\) titik tersebut.

e. Ditanyakan: \(a_{ymaks} = ...?\)

Jawab: 

\(a_{ymaks} \) terjadi saat nilai \(cos(\theta)\) atau \(sin(\theta)\) (tergantung trigonometri yang ada di fungsi \(a_y\)) maksimum yaitu = 1.

\(a_y = - A. \omega^2.sin(\omega.t \pm k.x + \theta_0) = - A. \omega^2.sin(\theta)\)

\(\Rightarrow a_{ymaks} = - A. \omega^2 =  - 0,8 \times (4\pi)^2\) 

\(\Rightarrow a_{ymaks} = - 12,8\pi^2\) m.s\(^{-2}\)

f. Ditanyakan : \(v_y = ...?\) di \(x_p =  25\) cm \(= 0,25\) m,     \(t = 4,5\) detik

Jawab: 

\(v_y = 3,2\pi.cos(4\pi.t - 2\pi.x + \frac{\pi}{6})\) 

\(v_y = 3,2\pi.cos(4\pi.\times 4,5 - 2\pi. \times 0,25 + \frac{\pi}{6})\)

\(v_y = 3,2\pi.cos(18\pi - 5\pi + \frac{\pi}{6})\) 

\(v_y = 3,2\pi.cos(13 \frac{1}{6}\pi )\)

Ingat! \(\Rightarrow sin(13 \frac{1}{6}\pi )\) sama saja dengan \(sin(13 \frac{1}{6}\pi - 12\pi) = sin(1 \frac{1}{6}\pi) \)

 

\(v_y = 3,2\pi.cos(1 \frac{1}{6}\pi )\) 

\(v_y = 3,2\pi.cos(210^o )\) 

\(v_y = 3,2\pi.\times (-\frac {1}{2}\sqrt{3})\) 

\(v_y = - 1,6\pi \sqrt{3}\) m/s

Tanda \((-)\) menunjukkan bahwa titik p sedang bergetar ke arah \(y(-)\) atau ke bawah.

g. Ditanyakan : \(a_y = ...?\) di \(x_p =  25\) cm \(= 0,25\) m,     \(t = 4,5\) detik

Jawab: 

\(a_y = - 12,8\pi^2.sin(4\pi.t - 2\pi.x + \frac{\pi}{6})\) 

\(a_y = - 12,8\pi^2.sin(4\pi.\times 4,5 - 2\pi. \times 0,25 + \frac{\pi}{6})\)

\(a_y = - 12,8\pi^2.sin(18\pi - 5\pi + \frac{\pi}{6})\) 

\(a_y = - 12,8\pi^2.sin(13 \frac{1}{6}\pi )\)

\(a_y = - 12,8\pi^2.sin(1 \frac{1}{6}\pi )\) 

\(a_y = - 12,8\pi^2.sin(210^o )\)

\(a_y = - 12,8\pi^2. \times  (-\frac {1}{2})\)

\(a_y = 6,4\pi^2 \) m.s\(^{-2}\)