Contoh Soal dan Pembahasan Gelombang Berjalan Part 6.

Deskripsi: Besaran-Besaran Dasar, Kecepatan Getar, dan Percepatan Getar, dari Persamaan Simpangan Gelombang Berjalan.

Contoh Soal.

Sebuah gelombang berjalan merambat dengan fungsi simpangan $y=0,8.sin(4\pi .t-2\pi .x+\frac{\pi }{6}$), dengan $y$ dan $x$ dalam meter. Berdasarkan fungsi tersebut tentukan:

a. Ampitudo Gelombang ($A$)

b. Frekuensi gelombang ($f$)

c. Panjang gelombang ($\lambda$)

d. Persamaan kecepatan getar $v_y$

e. Kecepatan getar maksimum $v_{ymaks}$ 

f. Persamaan Percepatan getar $a_y$

g. Percepatan getar maksimum $a_{ymaks}$

h. kecepatan getar di titik p yang berjarak 25 cm dari titik asal o, dan titik asal o telah bergetar selama 4,5 detik

i. Percepatan getar di titik p yang berjarak 25 cm dari titik asal o, dan titik asal o telah bergetar selama 4,5 detik

Pembahasan.

Persamaan umum gelombang berjalan adalah $y=A.sin(\omega .t\pm k.x+{\theta }_0)$

Di mana: $A=$ Amplitudo,    $\omega =$ kecepatan sudut (rad/s)    $\Rightarrow \omega =2\pi .f$ ($f=$ frekuensi (Hz),   $t=$ selang waktu getar titik asal gelombang (s),    $k=$ bilangan gelombang     $\Rightarrow k=\frac{2\pi }{\lambda }$ ($\lambda =$ panjang gelombang,    $x=$ Jarak titik ke titik asal.

Untuk arah getar lihat tanda $\pm$ dikiri k, jika tandanya $-$ maka arah rambat ke kanan, tandanya $+$ maka arah rambat ke kiri. 

Maka dari persamaan: $y=0,8.sin(4\pi .t-2\pi .x+\frac{\pi }{3})$, dapat ditentukan:

a. $A=0,8$ m

b. $\omega =4\pi$     $\Rightarrow 2\pi .f=4\pi$    $\Rightarrow f=\frac{4\pi }{2\pi }$    $\Rightarrow f=2$ Hz

$\Rightarrow T=\frac{1}{f}=\frac{1}{2}=0,5$ sekon

c. $k=2\pi$    $\Rightarrow 2\pi =\frac{2\pi }{\lambda }$     $\Rightarrow \lambda =\frac{2\pi }{2\pi }$      $\Rightarrow \lambda =1$ m 

d. Ditanyakan $v_y=...?$

Jawab: 

$v_y=\frac{dy}{dt}=\frac{d(A.sin(\omega .t\pm k.x+{\theta }_0))}{dt}$

$v_y=A.\omega .cos(\omega .t\pm k.x+{\theta }_0)$

$v_y=0,8\times 4\pi .cos(4\pi .t-2\pi .x+\frac{\pi }{6})$ m/s

$v_y=3,2\pi .cos(4\pi .t-2\pi .x+\frac{\pi }{6}$) m/s

e. Ditanyakan: $v_{ymaks}=...?$

Jawab: 

$v_{ymaks}$ terjadi saat nilai $cos(\theta )$ atau $sin(\theta )$ (tergantung trigonometri yang ada di fungsi $v_y$) maksimum yaitu = 1.

$v_y=A.\omega .cos(\omega .t\pm k.x+{\theta }_0)=A.\omega .cos(\theta )$ 

$\Rightarrow v_{ymaks}=A.\omega =0,8\times 4\pi$ 

$\Rightarrow v_{ymaks}=3,2\pi$ m/s

f. Ditanyakan $a_y=...?$

Jawab: 

$a_y=\frac{d(a_y)}{dt}=\frac{d(A.\omega .cos(\omega .t\pm k.x+{\theta }_0))}{dt}$

$a_y=-A.{\omega }^2.sin(\omega .t\pm k.x+{\theta }_0)$

$a_y=-0,8\times (4\pi {)}^2.sin(4\pi .t-2\pi .x+\frac{\pi }{6})$

$a_y=-0,8\times 16{\pi }^2.sin(4\pi .t-2\pi .x+\frac{\pi }{6})$ 

$a_y=-12,8{\pi }^2.sin(4\pi .t-2\pi .x+\frac{\pi }{6})$ m.s${}^{-2}$

Tanda ($-$) menyatakan bahwa arah $a_y$ suatu titik, selalu berlawanan dengan arah posisi/simpangan getar $y$ titik tersebut.

e. Ditanyakan: $a_{ymaks}=...?$

Jawab: 

$a_{ymaks}$ terjadi saat nilai $cos(\theta )$ atau $sin(\theta )$ (tergantung trigonometri yang ada di fungsi $a_y$) maksimum yaitu = 1.

$a_y=-A.{\omega }^2.sin(\omega .t\pm k.x+{\theta }_0)=-A.{\omega }^2.sin(\theta )$

$\Rightarrow a_{ymaks}=-A.{\omega }^2=-0,8\times (4\pi {)}^2$ 

$\Rightarrow a_{ymaks}=-12,8{\pi }^2$ m.s${}^{-2}$

f. Ditanyakan : $v_y=...?$ di $x_p=25$ cm $=0,25$ m,     $t=4,5$ detik

Jawab: 

$v_y=3,2\pi .cos(4\pi .t-2\pi .x+\frac{\pi }{6})$ 

$v_y=3,2\pi .cos(4\pi .\times 4,5-2\pi .\times 0,25+\frac{\pi }{6})$

$v_y=3,2\pi .cos(18\pi -5\pi +\frac{\pi }{6})$ 

$v_y=3,2\pi .cos(13\frac{1}{6}\pi )$

Ingat! $\Rightarrow sin(13\frac{1}{6}\pi )$ sama saja dengan $sin(13\frac{1}{6}\pi -12\pi )=sin(1\frac{1}{6}\pi )$

 

$v_y=3,2\pi .cos(1\frac{1}{6}\pi )$ 

$v_y=3,2\pi .cos({210}^o)$ 

$v_y=3,2\pi .\times (-\frac{1}{2}\sqrt{3})$ 

$v_y=-1,6\pi \sqrt{3}$ m/s

Tanda $(-)$ menunjukkan bahwa titik p sedang bergetar ke arah $y(-)$ atau ke bawah.

g. Ditanyakan : $a_y=...?$ di $x_p=25$ cm $=0,25$ m,     $t=4,5$ detik

Jawab: 

$a_y=-12,8{\pi }^2.sin(4\pi .t-2\pi .x+\frac{\pi }{6})$ 

$a_y=-12,8{\pi }^2.sin(4\pi .\times 4,5-2\pi .\times 0,25+\frac{\pi }{6})$

$a_y=-12,8{\pi }^2.sin(18\pi -5\pi +\frac{\pi }{6})$ 

$a_y=-12,8{\pi }^2.sin(13\frac{1}{6}\pi )$

$a_y=-12,8{\pi }^2.sin(1\frac{1}{6}\pi )$ 

$a_y=-12,8{\pi }^2.sin({210}^o)$

$a_y=-12,8{\pi }^2.\times (-\frac{1}{2})$

$a_y=6,4{\pi }^2$ m.s${}^{-2}$