PENURUNAN RUMUS USAHA GAS PADA PROSES ISOTERMAL

Gambar di atas menunjukkan kurva hubungan tekanan $P$ dan Volume $V$ dari suatu gas yang sedang memuai pada temperatur/ suhu tetap/ konstan. 

persamaan keadaan gas secara umum dapat dinyatakan sebagai:

$P.V=n.R.T$ ..... (1)

Sementara persamaan gas pada proses isotermal dinyatakan dengan Hk. Boyle, yang persamaannya adalah :

$P_2.V_2=P_1.V_1$ ..... (2)

Persamaan untuk menentukan nilai usaha yang dilakukan gas pada proses isotermal ini  dinyatakan dengan persamaan:

$W=n.R.T.ln(\frac{V_2}{V_1})$ ..... (3)

Di mana:  $W$ = usaha yang dilakukan gas (joule), $n$ = jumlah partikel gas $mol$, (R) = tetapan umum gas ideal $8,314$ $joule.mo{l}^{-1}.K^{-1}$, $V_1$ = volume awal, dan  $V_2$ = volume akhir $m^3$

Bagaimanakah persamaan (3) diperoleh? Baik mari kita pelajari bersama.

Secara umum usaha pada suatu sistem gas di dalam wadah merupakan integrasi dari hubungan tekanan $P$ dengan satuan perubahan volume-nya $dV$, atau secara matematis dinyatakan sebagai:

$W={\int }_1^{2}P.dV$ ..... (4)

Dari persamaan keadaan gas (1), dapat ditentukan persamaan tekanannya $P$, yaitu:

$P=\frac{n.R.T}{V}$ ..... (5)    

Subtitusikan persamaan (5) ke persamaan (4), sehingga menjadi:

$W={\int }_1^2(\frac{n.R.T}{V}).dV$

                       

$W=n.R.T{\int }_1^2(\frac{dV}{V})$ ..... (6)

Sesuai kaidah matematika bahwa ${\int }_1^2\frac{dx}{x}=ln(\frac{x_2}{x_1}$) maka, 

${\int }_1^2\frac{dV}{V}=ln(\frac{V_2}{V_1})$ ..... (7)

Subtitusikan persamaan (7) ke persamaan (6), sehingga menjadi:

$W=n.R.T.ln(\frac{V_2}{V_1})$ ..... (3)

Contoh Soal Usaha Gas pada Proses Isotermal:

Dua mol gas ideal saat tekanannya $2\times {10}^5$ Pa, Volumenya adalah 2 liter. Gas mengalami ekspansi secara isotermal pada suhu ${127}^o$ C sehingga tekanannya turun menjadi $1\times {10}^5$ Pa. Diketahui $R=8,3$ $Joule.mo{l}^{-1}.K^{{}^{-1}}$ dan $ln2=0,69$. Berapakah besar usaha yang dilakukan gas tersebut ..... ?

Penyelesaian :

Diketahui:

$n=2$ mol

$P_1=2\times {10}^5$ Pa , $P_2=1\times {10}^5$ Pa

$T={127}^o=400K$ C , $V_1=2$ liter $=2\times {10}^{-3}$ $m^3$

Ditanyakan: $W=.....?$

Jawab: Usaha pada proses isotermal dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (3) yaitu,

$W=n.R.T.ln(\frac{V_2}{V_1})$ .....(3)

Karena, $V_2$ belum diketahui, tentukan dahulu nilai $V_2$, menggunakan persamaan $2$, sehingga menjadi:

$1\times {10}^5.V_2=2\times {10}^5\times 2\times {10}^{-3}$

$\Rightarrow V_2=\frac{2\times {10}^5\times 2\times {10}^{-3}}{1\times {10}^5}$
$V_2=4\times {10}^{-2}$

subtitusikan nilai $V_2$ dan semua nilai yang telah diketahui ke peramaan  (3), sehingga menjadi:

$W=2\times 8,3\times 400\times ln(\frac{4\times {10}^{-2}}{2\times {10}^{-2}})$

$W=6640\times ln(2)=6640\times 0,69$

$W=4582$ $Joule$

Selesai, semoga bermanfaat.